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平衡二叉树旋转平衡(要看)!  

2009-02-13 17:23:03|  分类: 程序理论 |  标签: |举报 |字号 订阅

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这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了(现在的教科书还有部分算法内容)。说它没用,恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面,绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高(很多)。因此,通常情况下,人们都是一劳永逸的——写完后就重用,而不会再写了。所以说,你虽然学完了平衡二叉树,但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人,让他来写一个,能顺利的写出来的恐怕不多,玩笑之词,且勿当真。

在开始写之前,我很担心,能不能把这部分写清楚,毕竟书上满天的switch…case,并且还只是一半——有左旋没有右旋,有插入没有删除。后来,我变得有信心了——因为书上都没有说清楚,都在那里说梦话。我没有找到AVL树的发明者的原著(G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis. An algorithm for the organization of information. Soviet Math. Dokl., 3:1259--1262, 1962.)也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意,但至少,我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。

基本概念

?       平衡

    下面的引文出自Algorithms and Data Structures Niklaus Wirth, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215 – 226

One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:

 

A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.

 

Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)

 

The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.

科技文都比较好懂,本人翻译水平比较差,就不献丑了,我只想让大家注意最后一段的画线部分,平衡化应该是易于操作的,而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的switch…case

?       旋转

    平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点(其中一个可能是外部节点NULL),旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是,左旋的时候p->right一定不为空,右旋的时候p->left一定不为空,这是显而易见的。

p

 

 

 

p

p

 

左旋

 

t

 

t

 

(p)

 

NULL

 

 

 

NULL

    可以看到,左旋确实是在向“左”旋转,还是很形象的。右旋是左旋的镜像,就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。(括号表示NULL的情况不执行)

左旋

右旋

t->parent = p->parent

p->parent = t

t->parent = p->parent

p->parent = t

(t->left->parent = p)

p->right = t->left

(t->right->parent = p)

p->left = t->right

t->left = p

p = t

t->right = p

p = t

?       平衡因子(bf——balance factor

    AVL树的平衡化靠旋转,而是否需要平衡化,取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时,都求一下左右子树的高度,引入了平衡因子。很可能是1962年的时候AV&L没有亲自给出定义,时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4本书,两本是bf 左高-右高,两本是bf 右高-左高。最有意思的是两本中国人(严蔚敏和殷人昆)写的一本左减右,一本右减左;两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别,可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯,下面的bf = 左高-右高,习惯不同的请自己注意。

这样一来,是否需要平衡化的条件就很明了了——| bf | > 1。如果从空树开始建立,并时刻保持平衡,那么不平衡只会发生在插入删除操作上,而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。

插入和删除

    在AVL树插入和删除,实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除,然后再平衡化。可以肯定的说,插入和删除需要的最多平衡化次数不同(下面会给出根本原因),但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书,仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象,而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质,搞得乱七八糟不说(铺天盖地的switch…case),还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。

AVL树体现了一种平衡的美感,两种旋转是互为镜像的,插入删除是互为镜像的操作,没理由会有那么大的差别。实际上,平衡化可以统一的这样来操作:

1.    while (current != NULL)修改current的平衡因子。

?         插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

?         删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

?         current指向插入节点或者实际删除节点的父节点,这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data

2.    判断是否需要平衡化

if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

3.    是否要继续向上修改父节点的平衡因子

?         插入节点时if (!current->bf) break;这时,以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。

?         删除节点时if (current->bf) break;这时,以current为根的子树的高度和删除前的高度相同

?         之所以删除操作需要的平衡化次数多,就是因为平衡化不会增加子树的高度,但是可能会减少子树的高度,在有有可能使树增高的插入操作中,一次平衡化能抵消掉增高;在有可能使树减低的删除操作中,平衡化可能会带来祖先节点的不平衡

4.    当前节点移动到父节点,转1

p = &(current->data); current = current->parent;

完整的插入删除函数如下:

bool insert(const T &data)

{

       if (!BSTree<T>::insert(data)) return false; const T* p = &data;

       while (current)

       {

              current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

              if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);

              else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

              if (!current->bf) break;

              p = &(current->data); current = current->parent;

       }

       return true;

}

bool remove(const T &data)

{

       if (!BSTree<T>::remove(data)) return false; const T* p = &r_r_data;

//class BSTree里添加proteceted: T r_r_data,在BSTree<T>::remove(const T &data)里修改为实际删除的节点的data

       while (current)

       {

              current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

              if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);

              else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

              if (current->bf) break;

              p = &(current->data); current = current->parent;

       }

       return true;

}

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